옴의 법칙

3. 옴의 법칙의 기본 형식

옴의 법칙은 전기 회로의 두 점 사이의 전위차가 그 두 점 사이를 흐르는 전류에 비례한다는 것을 나타낸다.^[42] 전류가 $I$이고 전위차가 $V$일 때, 다음과 같은 식이 성립한다.

:$V\; =\; IR$

여기서 비례 상수 $R$은 도체의 재질, 형태, 온도 등에 따라 결정되며, 전기 저항(electric resistance) 또는 간단히 저항(resistance)이라고 불린다.

이 관계를 반대로 생각하면, 흐르는 전류가 전위차에 비례한다고 표현할 수 있다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

:$I\; =\; GV$

이때 비례 상수 $G$는 전기 전도도(conductance) 또는 컨덕턴스라고 불린다.

전류의 단위에 암페어(A)를, 전위차의 단위에 볼트(V)를 사용할 때 전기 저항의 단위는 옴(Ω)이 사용된다. 또한, 컨덕턴스의 단위는 지멘스(S)가 사용된다.

4. 옴의 법칙의 미시적 형태

옴의 법칙은 미시적으로 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash mathbf\{J\}\; =\; \backslash sigma\backslash mathbf\{E\}$

여기서 '''J'''는 전류 밀도, σ는 전기 전도도(비등방성 물질에서는 텐서일 수도 있음), '''E'''는 전기장을 나타낸다.^[18][19] 이 식은 도체 내에서 전하 운반체의 움직임과 전기장 사이의 관계를 설명한다.

5. 옴의 법칙의 응용

옴의 법칙은 전기 회로 설계 및 분석에 널리 사용된다. 저항, 전압, 전류 중 두 가지 값을 알고 있다면, 옴의 법칙을 이용하여 나머지 값을 계산할 수 있다. 예를 들어 $I\; =\; \backslash frac\{V\}\{R\}$ 공식을 이용해 전류를, $V\; =\; IR$ 공식을 이용해 전압을, $R\; =\; \backslash frac\{V\}\{I\}$ 공식을 이용해 저항을 구할 수 있다.^[2] 또한, 옴의 법칙은 직렬 회로와 병렬 회로의 등가 저항을 계산하는 데에도 활용된다.

5. 1. 회로 해석

5. 2. 유체 역학적 유추

6. 옴의 법칙의 한계

옴의 법칙은 여러 실험을 통해 얻어진 경험적 법칙으로, 대부분의 물질에서 전류가 전기장에 거의 비례한다는 일반화이다. 이는 맥스웰 방정식보다 기본적이지 않으며 항상 성립하는 것은 아니다. 어떤 주어진 물질이든 충분히 강한 전기장 하에서는 고장이 발생하며, 전기 공학에서 관심 있는 일부 물질은 약한 전기장 하에서도 "비옴적"이다.^[15][16]

옴의 법칙은 넓은 범위의 길이 스케일에서 관찰되었다. 20세기 초에는 옴의 법칙이 원자 스케일에서는 성립하지 않을 것이라고 생각되었지만, 실험 결과는 이러한 예상을 뒷받침하지 않았다. 2012년 현재 연구자들은 폭이 4개의 원자, 높이가 1개의 원자에 불과한 실리콘 와이어에서도 옴의 법칙이 작용함을 보여주었다.^[17]

7. 옴의 법칙의 일반화

자기장 $\backslash mathbf\{B\}$ 내에서 속도 $\backslash mathbf\{v\}$로 움직이는 유체를 고려할 때, 상대적인 운동은 전기장 $\backslash mathbf\{E\}$를 유도하고, 이는 하전 입자에 전기력을 작용시켜 전류 $\backslash mathbf\{J\}$를 발생시킨다. 이때 옴의 법칙은 다음과 같이 일반화된다.^[18]

:$$\backslash sigma(\backslash mathbf\{E\}\; +\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{B\})\; =\; \backslash mathbf\{J\},$$

여기서 전기 전도도 $\backslash sigma\; =\; \{n\_e\; e^2\backslash over\; \backslash nu\; m\_e\}$이다. ($e$, $m\_e$, $\backslash mathbf\{v\}\_e$는 각각 전자의 전하, 질량, 속도이며, $\backslash nu$는 이온과 전자의 충돌 빈도이다.)

이 방정식은 다음과 같이 표현할 수도 있다.

:$$\backslash mathbf\{E\}+\backslash mathbf\{v\}\backslash times\; \backslash mathbf\{B\}=\backslash rho\backslash mathbf\{J\},$$

여기서 $\backslash rho\; =\; \backslash sigma^\{-1\}$는 전기 저항률이다.

자기유체역학(MHD)에서는 옴의 법칙을 1차원 도체에서 3차원 연속체, 특히 유체로 확장하여 사용하며, 이때 자기장의 영향을 포함하여 “일반화된 옴의 법칙”이라고 불린다.^[19]

자기장이 존재하고 도체가 움직이는 경우, 로렌츠 힘을 고려해야 한다. 로렌츠 변환을 사용하면 전기장은 다음과 같이 변환된다.

:$$\backslash begin\{align\}$$

\boldsymbol{E}_{\parallel}' &= \boldsymbol{E}_\parallel \\

\boldsymbol{E}_{\bot}' &= \gamma \left( \boldsymbol{E} + \boldsymbol{\beta} \times \boldsymbol{B} \right)_\bot

\end{align}

여기서 $\backslash parallel$는 도체의 이동 방향과 평행한 성분, $\backslash bot$는 수직인 성분, $\backslash gamma$는 로렌츠 인자, $\backslash beta$는 광속에 대한 상대적인 속도이다.

속도가 광속보다 충분히 느리고, 자기장이 충분히 강하다고 가정하면, 옴의 법칙은 다음과 같이 수정된다.

:$\backslash boldsymbol\{j\}\; =\backslash sigma\; \backslash left(\; \backslash boldsymbol\{E\}\; +\; \backslash boldsymbol\{v\}\; \backslash times\; \backslash boldsymbol\{B\}\backslash right)$

완전히 이온화된 수소 원자의 플라스마를 예로 들어, 일반화된 옴의 법칙을 유도할 수 있다. 양성자와 전자 두 성분만으로 구성된 유체에서, 각 입자의 속도, 수밀도, 질량, 부분압, 기본 전하량, 충돌 빈도 등을 고려하여 운동 방정식(오일러 방정식)을 세울 수 있다.

미시적인 공간에서 정상 상태를 가정하고, 중성 유체 조건 ($n\; \backslash simeq\; n\_p\; \backslash simeq\; n\_e$) 및 양성자와 전자의 질량 차이 ($m\_p\; \backslash gg\; m\_e$)를 고려하면, 중심 속도는 $\backslash boldsymbol\{u\}\; \backslash simeq\; \backslash boldsymbol\{u\}\_p$로 근사할 수 있다.

전류는 $\backslash boldsymbol\{j\}\; =\; e(n\_p\backslash boldsymbol\{u\}\_p\; -\; n\_e\backslash boldsymbol\{u\}\_e)$로 표현되며, 운동 방정식의 충돌항을 대입하면, $\backslash boldsymbol\{j\}\; =\; \backslash frac\{\backslash boldsymbol\{R\}\}\{m\_e\backslash nu\}$를 얻는다.

최종적으로 일반화된 옴의 법칙은 다음과 같다.

:$$\backslash begin\{align\}$$

\boldsymbol{j} &= \sigma (\boldsymbol{E} + \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{B})

\end{align}

(단, $\backslash sigma\; =\; en\; /(m\_e\backslash nu)$).

8. 옴의 법칙과 관련된 추가 개념

전기 전도도(electrical conductivity) 또는 컨덕턴스(conductance)는 전기 저항의 역수로, 도체에 흐르는 전류가 전압에 비례한다는 관계를 나타낸다. 수식으로는 다음과 같다.^[42]

:$I\; =\; GV$

여기서 ''G''는 컨덕턴스이며, ''R''^-1 (R은 저항)과 같다. 전류의 단위로 암페어(A), 전위차의 단위로 볼트(V)를 사용할 때, 컨덕턴스의 단위는 지멘스(S)이다.

비저항(resistivity)은 도체의 재질과 온도에 따라 결정되는 값으로, 옴의 법칙의 미분형 표현에서 확인할 수 있다.^[42]

:$\backslash boldsymbol\{E\}\; =\backslash rho\; \backslash boldsymbol\{j\}$

여기서 ''ρ''는 비저항, '''E'''는 전기장, '''j'''는 전류 밀도를 나타낸다. 비저항은 도체의 전기 저항을 결정하는 요소 중 하나이다.

전기전도도(conductivity)는 비저항의 역수로, 다음과 같이 표현된다.^[42]

:$\backslash boldsymbol\{j\}\; =\backslash sigma\; \backslash boldsymbol\{E\}$

여기서 ''σ''는 전기전도도이다.

참조

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_[2] 서적 Elements of Electricity https://archive.org/[...] American Technical Society
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